FUNCION LINEAL

FUNCIÓN LINEAL

EXPLICACION GENERAL DEL TEMA.

FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2

Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

Volvamos al ejemplo de las funciones lineales

f(x) = 3x+2       Si x es 3,  entonces f (3) = 3*3+2 = 11

Si x es 4,  entonces f (4) = 3*4+2 = 14

Si x es 5,  entonces f (5) = 3*5+2 = 17

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de   x  y de  f(x)  NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son los incrementos.

g(x) = -3x+7     Si  x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 =   0+7 = 7

Si  x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4

Si  x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.

h(x) = 4             Si  x= 0   ,  entonces h(0)  = 4

Si  x= 98   entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.

Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descritas.

POTENCIACION Y RADICACION

POTENCIACION Y RADICACION 

Marco teórico potencias y radicales.

 Radicación.-

•  Necesitamos conocer bien los cuadrados y cubos perfectos de los 20 primeros números naturales.

• Necesitamos conocer bien la descomposición en factores primos.
• Necesitamos conoces los términos de la radicación

♣ Concepto.-

La radicación es la operación inversa de la potenciación; es decir si nos dan el área de un cuadrado, extraer la raíz es encontrar el lado de ese cuadrado; mientras que la potenciación nos dan el lado del cuadrado y encontramos el área.

♣ Definición.-

Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número n de veces nos da el número a.

Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.  Porque 14 x 14 = 196 → √196 = 14

 ♣ Terminos:

El número que esta dentro del radical se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice y se encuentra en la V del radical, el resultado se llama raíz.

La mejor forma de encontrar las raíces de cualquier número exacto es convertir las raíces a potencias en donde la base de la potenciación es la raíz buscada.

Nombre de la raíz según su índice.-

Para el índice 2 (si el índice es 2, se suele omitir) se le llama raíz cuadrada.

Para índice 3, se llama raíz cúbica; – índice 4, raíz cuarta;  – índice 5, raíz quinta, y así sucesivamente, es decir se nombra el número ordinal.

♠ Raíz cuadrada

1.-)  Raíz cuadrada por defecto (aplicable a cualquier índice), es buscar el mayor número natural cuyo cuadrado (u otro índice) sea menor o igual que el radicando.

Ejemplo:   Raíz cuadrada de 52:
1² =1 < 52,                    5² =25 < 52,

2² = 4< 52,                   6² =36 <52,

3² = 9 <52,                   7² = 49 < 52,

4² =16 < 52,                8² = 64 > 52

En este caso la raíz por defecto es 7
El resto por defecto es 3, o sea la diferencia de  52 – 49=3

2.-)  Raíz cuadrada por exceso (aplicable a cualquier índice): es el menor número natural que elevado al cuadrado (o al otro índice), da un número mayor y  próximo que el radicando..

Para el ejemplo del caso anterior, la raíz cuadrada por exceso es 8.
El resto por exceso es 12, o sea la diferencia de 64 – 52 = 12

3.-)  Raíz cuadrada exacta, (aplicable a cualquier índice), es el número que elevado al índice de la raíz es exactamente el radicando, sólo se da en los casos en que el radicando es una potencia exacta.

Ejemplos:
√36 = 6 →porque 6 elevado al cuadrado = 36
³√125 = 5 →porque 5 elevado al cubo = 125
¹√16 = 2 →porque 2 elevado a la cuarta = 16
√49 = 7 → porque 7 elevado al cuadrado = 49

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual a base «a» es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los exponentes respectivos.

ejemplos:

División de Potencias de Igual Base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos (la misma base y se restan los exponentes.

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes -

Potencia de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad seguida de tantos ceros como indica la cifra del exponente.

Ejemplos:

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n"

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

OPERACIONES ALGEBRAICAS

OPERACIONES BÁSICAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Suma de polinomios
Resta de polinomios Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Multiplicación de polinomios
División de polinomios
Resolver la división de polinomios: División por Ruffini
Resolver por la regla de Ruffini la división: Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

1.Ordenamos los polinomios, si no lo están.

 Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

2.Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) +  Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

3.Sumamos los monomios semejantes.

P(x) +  Q(x) = 4x³− 3x² + 9x − 3

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x − 3

P(x) −  Q(x) = 3x² + x − 3

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 · ( 2x³ − 3 x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x⁵ − 9x⁴ + 12x³ − 6x²

P(x) = 2x² − 3    Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) =

= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

Procedemos igual que antes.

5x³ : x² = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x² : x² = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³+2x² +5x+8 es el cociente.

Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini.

(x⁴ −3x² +2) : (x −3)

1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.

4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8El último número obtenido, 56 , es el resto.

9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x³ + 3 x² + 6x +18

1Dados los polinomios:

P(x) = 4x² − 1

Q(x) = x³ − 3x² + 6x − 2

R(x) = 6x² + x + 1

S(x) = 1/2x² + 4

T(x) = 3/2x² +5

U(x) = x² + 2

Calcular:

1P(x) + Q (x) =

= (4x² − 1) + ( x³ − 3x² + 6x − 2) =

= x³ − 3x² + 4x²+ 6x − 2 − 1 =

= x³ + x²+ 6x − 3

2P(x) − U (x) =

= (4x² − 1) − (x² + 2) =

= 4x² − 1 − x² − 2 =

= 3x² − 3

3P(x) + R (x) =

= (4x² − 1) + (6x² + x + 1) =

= 4x² + 6x² + x − 1 + 1 =

= 10x² + x

42P(x) − R (x) =

= 2(4x² − 1) − (6x² + x + 1) =

= 8x² − 2 − 6x² − x − 1 =

= 2x² − x − 3

5S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2x² + 4 ) + (3/2x² +5 ) + (x² + 2) =

= 1/2 x² + 3/2 x² + x² + 4 + 5+ 2 =

= 3x² + 11

6S(x) − T (x) + U(x) =

= (1/2x² + 4) − (3/2x² +5) + (x² + 2) =

= 1/2x² + 4 − 3/2x² − 5 + x² + 2 =

= 1

2Dados los polinomios:

P(x) = x⁴ − 2x² − 6x − 1

Q(x) = x³ − 6x² + 4

R(x) = 2x⁴ −2 x − 2

Calcular:

P(x) + Q(x) − R(x) =

= (x⁴ −2x² − 6x − 1) + (x³ − 6x² + 4) − ( 2x⁴ − 2x − 2) =

= x⁴ −2x² − 6x − 1 + x³ − 6x² + 4 − 2x⁴ + 2 x + 2 =

= x⁴ − 2x⁴ + x³ −2x² − 6x² − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2 =

= −x⁴ + x³ − 8x² − 4x + 5

P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

=(x⁴ −2x² − 6x − 1) + 2(x³ − 6x² + 4) − ( 2x⁴ −2 x − 2)=

= x⁴ − 2x² − 6x − 1 +2x³ − 12x² + 8 − 2x⁴ + 2 x + 2 =

= x⁴ − 2x⁴ + 2x³ −2x² − 12x² − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 =

= −x⁴ + 2x³− 14x² − 4x + 9

Q(x)+ R(x) − P(x)=

= (x³ − 6x² + 4) + ( 2x⁴ −2 x − 2) − (x⁴ −2x² − 6x − 1) =

= x³ − 6x² + 4 + 2x⁴ −2 x − 2 − x⁴ +2x² + 6x + 1=

= 2x⁴ − x⁴ + x³ − 6x² +2x² −2 x + 6x + 4− 2 + 1=

= x⁴ + x³ − 4x² + 4x + 3

1(x⁴ −2x² +2 ) · (x² −2x +3) =

= x⁶ −2x⁵ + 3x⁴ − 2x⁴ + 4x³ − 6x² + 2x²− 4x +6=

= x⁶ −2x⁵ − 2x⁴ + 3x⁴ + 4x³ + 2x² − 6x² − 4x +6 =

= x ⁶ −2x⁵ + x⁴ + 4x³ − 4x² − 4x + 6

2 (3x² − 5x) · (2x³ + 4x² − x +2) =

= 6x⁵ + 12x⁴ − 3x³ + 6x² − 10x⁴ − 20x³ + 5x² − 10x =

= 6x⁵ + 12x⁴ − 10x⁴ − 3x³ − 20x³ + 6x² + 5x² − 10x =

= 6x⁵ + 2x⁴ − 23x³ + 11x² − 10x

3 (2x² − 5x + 6) · (3x⁴ − 5 x³ − 6 x² + 4x − 3) =

= 6x⁶ − 10x⁵ − 12 x⁴ + 8x³ − 6 x² −

− 15x⁵ + 25x⁴ + 30x³ − 20x²+ 15x +

+18x⁴ − 30x³ − 36x² + 24x − 18 =

= 6x⁶ − 10x⁵ − 15x⁵ − 12 x⁴ + 25x⁴ + 18x⁴ +

+8x³ − 30x³ + 30x³− 6 x²− 20x² − 36x² + 15x + 24x − 18 =

= 6x⁶ − 25x⁵ + 31x⁴ + 8x³ − 62x² + 39x − 18

3Dividir los polinomios:

1(x⁴ − 2x³ −11x²+ 30x −20) : (x² + 3x −2)

2(x⁶ + 5x⁴ + 3x² − 2x) : (x² − x + 3)

3 P(x) = x⁵ + 2x³ −x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

4 Dividir por Ruffini:

1 (x³ + 2x +70) : (x+4)

 

2(x⁵ − 32) : (x − 2)

C(x) = x⁴ + 2x³ + 4x² + 8x + 16 R= 0

3 (x⁴ −3x² +2 ) : (x −3)

C(x) = x³ + 3 x² + 6x +18 R= 56