EL PROFE DIEGO MATEMATICA CICLO IV-B: diciembre 2018

Funcion exponencial y logaritmos

en este espacion encontrara la teoria de las operaciones con funciones exponenciales y logaritmicas.

Aora unos videos de como desarrollar los ejercicios.

Función Cuadrática

1- Función cuadrática
Como ya sabes, una función es una relación entre dos magnitudes, x y f(x), de manera que a cada valor de la primera magnitud le corresponde un único valor de la segunda, que se llama imagen.
Función cuadrática es aquella función que está determinada por la ecuación de segundo grado (cuadrática) de la forma;

Donde a, b y c son números reales, y a ≠ 0, ya que si a = 0 se anula x², y no sería una ecuación cuadrática.
La representación gráfica de una función cuadrática se denomina parábola.

2- Representación gráfica: Parábola
La parábola de la función cuadrática, es una curva simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas, la cual se denomina eje de simetría. La parábola se compone de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación cuadrática y = ax² + bx c.
El trazado de parábola de la función cuadrática está determinada por un vértice, por el cual se traza el eje de simetría, los puntos de corte en el eje x y el punto de corte en el eje y. Al trazado de la parábola se le denomina ramas de la parábola.
Si graficamos una parábola de una función cuadrática, podemos ver:

Estos puntos que forman la parábola, están determinados por los coeficientes numéricos a y b de x² y x respectivamente, y el término independiente c de la ecuación cuadrática.

2.1- Ramas de la parábola
Para determinar el sentido de las ramas de la parábola (hacia arriba o hacia abajo), dependerá del coeficiente numérico a de x².
Si a es mayor que cero (o sea, a es un número positivo), las ramas de la parábola irán hacia arriba, y si a es menor que cero (o sea, a es un número negativo), las ramas de la parábola irán hacia abajo.

También dependerá del coeficiente numérico a, la dilatación o contracción de la parábola, ya que, si aumenta el valor absoluto de a, la parábola se contrae y si disminuye el valor absoluto de a, la parábola se dilata.
Veamos un ejemplo;

2.2- Punto de corte con el eje y
El punto de corte en el eje y está determinado por el valor del término independiente c, ya que, si analizamos una función cuadrática y = f (x) = ax²+ bx + c, con x = 0 obtenemos;

Entonces, el punto de coordenadas (0, c) de una función cuadrática f (x) = ax² + bx + c, corresponde al punto en que la parábola corta al eje y.

2.3- Puntos de corte con el eje X
Para determinar los puntos donde la parábola atravesará el eje x o de las abscisas, analizaremos la función cuadrática y = f (x) = a^x2 + bx + c. Primero, sabemos que los puntos sobre el eje x tienen que tener coordenada y igual a cero (x, 0), por lo tanto la función es igual a cero y = f (x) = 0, que es igual a;

Como puedes ver, tenemos una ecuación de segundo grado con una incógnita, la cual podemos resolver con la fórmula general;

Entonces, así obtenemos las dos raíces de la ecuación cuadrática, serían los puntos de intersección con el eje x. Las coordenadas de estos puntos serán;

Como sabemos, las raíces de una ecuación cuadrática dependen del discriminante.
Recuerda que el discriminante es la cantidad subradical b² - 4 a c y se designa con la letra delta.

Según el valor del discriminante, la función cuadrática corta dos, una o ninguna vez el eje x;

2.4- Vértice y eje de simetría
El vértice es el punto donde cambia de dirección la parábola, es por donde pasa el eje de simetría. Cuando a > 0 el vértice será el punto mínimo de la parábola, en cambio, sí a < 0 el vértice será el punto máximo de la parábola.

Para encontrar el vértice, debemos obtener las coordenadas de este punto.
Para esto, sabemos que la parábola es simétrica, por lo tanto, podemos encontrar el componente x del vértice que se denomina x_v, ya que está justo en la mitad entre las raíces (o soluciones) de la ecuación cuadrática.
Entonces, el componente x_v, lo podemos encontrar promediando las raíces;

Según las propiedades de las raíces x₁ + x₂ = (- b/a). Reemplazamos;

Obteniendo este punto podemos trazar el eje de simetría, ya que, éste es una recta paralela al eje y (ordenadas) y que pasa por el vértice.
Luego, para encontrar el componente y, que se denomina y_v, reemplazamos x_v en la fórmula de función cuadrática;

Entonces, las coordenadas del vértice de una parábola de función cuadrática de la forma f (x) = ax² + bx + c serán;

Si lo graficamos sería;

Si analizas estas coordenadas te darás cuenta que;

Si b = 0, el eje y es el eje de simetría de la parábola.

Si a > 0 y b > 0, el vértice de la parábola se encontrará a la izquierda del eje y, ya que; - b/2a < 0.

Si a > 0 y b < 0, el vértice de la parábola se encontrará a la derecha del eje y, ya que; - b2a > 0.

Si a < 0 y b < 0, el vértice de la parábola se encontrará a la izquierda del eje y, ya que; - b/2a < 0.

Si a < 0 y b > 0, el vértice de la parábola se encontrará a la derecha del eje y, ya que; - b2a > 0.

Ejemplos de funciones cuadráticas;

1) Grafiquemos la función y = x² + 1.
Para poder graficar esta función cuadrática debemos asignar arbitrariamente valores a x para encontrar los que corresponden a y. Luego de hacer esta tabla podrás graficar en el plano cartesiano.

En la parábola de esta función podemos observar que;
- La curva no toca el eje x, por que las raíces son imaginarias.
Esto lo que podemos comprobar si reemplazamos b² - 4ac = 0² - 4 = - 4. Como la discriminante es negativa la curva no toca el eje x.
- La parábola está hacia arriba ya que a = 1, o sea, a > 0.
- El vértice es (0,1) para esta función como a > 0 es el punto mínimo de la parábola, y el eje de simetría corresponde al eje de las ordenadas.
- El eje y se corta en el mismo punto del vértice, ya que c = 1.

2) Grafiquemos la función y = - x² + 2x + 8.
Igual como en el ejemplo 1 asignamos valores a x para encontrar los que corresponden a y, luego graficamos.

En la parábola de esta función podemos observar que;
- La curva toca al eje x en dos puntos cuyas coordenadas son (-2,0) y (4,0). Recuerda que los puntos donde la parábola corta el eje x son las raíces de la ecuación cuadrática.
Además podemos comprobar que la parábola corta al eje x en dos puntos, ya que, si reemplazamos los datos en la discriminante b² - 4ac = 4 + 32 = 36. Como la discriminante es positiva la curva corta al eje x en dos puntos.
- La parábola está hacia abajo ya que a = -1, o sea, a < 0.
- El vértice es (1,9) para esta función como a < 0 es el punto máximo de la parábola. Lo puedes verificar ocupando las fórmulas para encontrar el vértice (- b/2a, c – b²/4a).
- El eje y se corta en el punto (0,8), ya que c = 8.

Creado por Portal Educativo. Fecha: 2015-04-06. Se autoriza uso citando www.portaleducativo.net. Prohibido su uso con fines comerciales.

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Factorizacion

1- Factorización

Factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos), es el procedimiento que permite escribir como multiplicación dicha expresión.

Los factores o divisores de una expresión algebraica, son los términos, ya sean números y/o letras, que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

Así, por ejemplo, si multiplicamos a por a + b podemos ver qué;

Dan como producto a² + ab, entonces, los factores o divisores de esta expresión algebraica son a y a + b.

2- Métodos utilizados para factorizar un polinomio.

Primero debes saber que, no todos los polinomios se pueden factorizar, ya que, al igual que en los números primos que sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que también solo son divisibles por ellas mismas y por 1.

Por ejemplo, el polinomio ax + by + cz, no se puede factorizar ya que, solo es divisible por ax + by + cz y por 1. Es decir, este polinomio no tiene un factor en común.

Para poder factorizar una expresión algebraica es necesario que siempre exista al menos un factor en común dentro de sus términos, ya sean números y/o letras.

Factor común de una expresión algebraica es el máximo común divisor (m.c.d.) de los términos que la componen.

2.1- Factor común monomio.

Debes identificar el factor común entre todos los términos de la expresión, y escribirlo como coeficiente de un paréntesis, en el cual tienes que escribir los términos resultantes después de dividir por el factor común.

Ejemplos;

a) Factorizar x²y + x²z.

Identificamos el factor común de x²y y x²z el cual es x², entonces dividimos los términos de la expresión por x2; x²y : x² = y y x² z : x² = z. Ahora escribimos la factorización;

b) Factorizar 8 m² - 12 mn.

Identificamos el factor común de 8 m² y 12 mn el cual es 4m, entonces dividimos los términos de la expresión por 4m; 8 m² : 4m = 2m y 12 mn : 4m = 3n. Ahora escribimos la factorización;

2.2- Factor Común polinomio o por agrupación de términos.

Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen algún factor en común, puedes realizar una agrupación en paréntesis de los términos que si tienen, y así podrás factorizar.

Generalmente la agrupación puede hacerse de varios modos, lo importante es que siempre los términos que se agrupen tengan algún factor en común. Independiente de cómo se agrupen los términos, el resultado será el mismo.

Ejemplos;

a) Factorizar la expresión a m + b m + a n + b n.

Podemos ver que, los dos primeros términos tienen el factor común m y los dos últimos el factor común n. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro, precedido de un signo +, ya que es el signo del tercer término. Luego sacamos el factor común de cada paréntesis, y nos queda el binomio en común (a + b), que se anota como producto de (m + n).

En este mismo ejemplo, podemos agrupar el primer y el tercer término que tienen el factor común a, y el segundo y cuarto término que tienen el factor común b, sacamos el factor común de los paréntesis y nos queda el binomio en común (m + n), que se anota como producto de (a + b).

Nos da el mismo resultado, ya que el orden de los factores no altera el producto.

b) Factorizar la expresión 6 m – 9 n + 21 n x – 14 m x.

Agrupamos los términos 1 y 2 que tienen factor común 3 y los términos 3 y 4 que tienen el factor común 7 x.

Como puedes ver, en el ejemplo anterior, los binomios (2 m – 3 n) y (3 n – 2 m), no son exactamente iguales, por lo cual, para igualarlos, cambiamos el signo al segundo binomio y nos quedo (- 3 n + 2m), pero para que el producto 7 x (3 n – 2 m) no variara, también le cambiamos el signo al factor 7 x, convirtiéndolo en – 7 x.

En el ejemplo anterior, también podemos agrupar el primer y cuarto término, que tienen el factor común 2 m, y el segundo y tercer término que tienen el factor común 3 n. Fíjate que al agrupar en paréntesis, el segundo y tercer término, que son – 9 n y + 21 n x, lo anotamos como – (9 n – 21 n x), esto para que mantengan los signos de la expresión original.

Obtenemos el mismo resultado, ya que el orden de los factores no altera el producto.

2.3- Resultado de productos notables:

Para factorizar de forma más rápida una expresión algebraica, puedes utilizar productos notables, los cuales son;

a) Trinomio cuadrado perfecto

El trinomio cuadrado perfecto es igual al producto notable cuadrado de binomio o sea, es producto de dos binomios iguales:

La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto es; extraer la raíz cuadrada al primer y tercer término, y separar estas raíces por el signo del segundo término. Entonces, el binomio formado se eleva al cuadrado o se multiplica por sí mismo.

Ejemplo:

- Factorizar 4 x² – 12 x y + 9 y²

b) Diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados perfectos es igual al producto notable suma por su diferencia;

La regla para factorizar una diferencia de cuadrados es; extraer la raíz cuadrada al primer y al segundo cuadrado, y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por su diferencia.

Ejemplo:

Factorizar 25 – 36 x²

c) Cubo de binomio

Si analizamos esta fórmula, para factorizar y llegar al producto notable cubo de binomio, es necesario que la expresión algebraica ordenada con respecto a una letra, cumpla con las siguientes condiciones;

- Tiene que tener cuatro términos.

- El primer y último término tienen que ser cubos perfectos.

- El segundo término tiene que ser (sumado o restado) el triplo del cuadrado de la raíz cubica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

- El tercer término tiene que ser sumado el triplo de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último término.

Si todos los términos de la expresión son positivos, es el cubo de la suma de las raíces cúbicas del primer y último término, y si los términos son alternativamente positivos y negativos, la factorización será el cubo de la diferencia de dichas raíces.

Ejemplo:

Factorizar a³ + 3 a² + 3 a + 1.

Veamos si la expresión cumple con las condiciones para ser un cubo de binomio;

- La expresión si tiene 4 términos.

- El primer y segundo término, si son cubos perfectos.

- Como la raíz cubica de a³ es a, y la raíz cubica de 1 es 1, reemplazamos estos valores en la ecuación para comprobar si el segundo y tercer término corresponden;

Segundo término: 3 (a)² (1) = 3 a².

Tercer término: 3 (a) (1)² = 3 a.

Como puedes ver, la expresión algebraica cumple con todas las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la factorización es el cubo de la suma de a y 1;

d) Suma de cubos.

La fórmula nos dice que, para factorizar la suma de dos términos elevados al cubo, se descompone en dos factores, donde;

- El primer factor, es la suma de sus raíces cúbicas.

- El segundo factor, es el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo:

Factorizar a³ + 27.

- La raíz cubica de a³ es a, y de 27 es 3.

- Según la fórmula sería, (a + 3) (a² – a (3) + (3)²).

e) Diferencia de cubos.

La fórmula nos dice que, para factorizar la diferencia de dos términos elevados al cubo, se descompone en dos factores, donde;

- El primer factor, es la diferencia de sus raíces cúbicas.

- El segundo factor, es el cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo:

Factorizar x³ – 125.

- La raíz cubica de x³ es x, y de 125 es 5.

- Según la fórmula sería, (x - 5) (x² + x (5) + (5)²).

f) Trinomio de la forma x² + bx + c.

Los trinomios ordenados de la forma x² + bx + c, dan como resultado el producto notable producto de binomios;

Para que aprendas a reconocer este tipo de trinomio, te tienes que fijar que cumpla las siguientes condiciones;

- El coeficiente del primer término es 1.

- El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

- El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1, y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

- El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo término, y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

Para que aprendas como anotar los signos de los binomios, y entiendas más este tipo de factorización te mostramos los siguientes ejemplos;

1) Factorizar x² + 9 x + 14.

El trinomio se descompone en dos binomios, donde el primer término de ellos será la raíz cuadrada de x², o sea x.

Cuando el segundo y tercer término del trinomio son positivos, ambos binomios tendrán signo positivo.

Los segundos términos de los binomios serán dos números que sumados den 9 y multiplicados den 14.

2) Factorizar y² – 8y + 15.

El trinomio se descompone en dos binomios, donde el primer término de ellos será la raíz cuadrada de y², o sea y.

Cuando el segundo término del trinomio es negativo y tercer término positivo, ambos binomios tendrán signo negativo.

Los segundos términos de los binomios serán dos números que sumados den - 8 y multiplicados den 15.

3) Factorizar m² + 5m -14.

El trinomio se descompone en dos binomios, donde el primer término de ellos será la raíz cuadrada de m², o sea m.

Cuando el segundo término del trinomio es positivo y tercer término negativo, los binomios tendrán signo destinos, donde el número de mayor valor absoluto será positivo.

Los segundos términos de los binomios serán dos números que sumados den 5 y multiplicados den - 14.

4) Factorizar a² – 2a – 15.

El trinomio se descompone en dos binomios, donde el primer término de ellos será la raíz cuadrada de a², o sea a.

Cuando el segundo y tercer término del trinomio son negativos, los binomios tendrán signo destinos, donde el número de mayor valor absoluto será negativo.

Los segundos términos de los binomios serán dos números que sumados den - 2 y multiplicados den - 15.

2.4- Trinomio de la forma ax² + bx + c.

Se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior, en que el primer término tiene por coeficiente un número distinto de 1.

Para factorizar este tipo de trinomios, tienes que multiplicar el trinomio por el coeficiente de x², dejando solamente indicado el producto del segundo término, luego puedes factorizar como aprendiste en el caso anterior, y por último tienes que dividir por el mismo número que multiplicaste.

Ejemplo;

Factorizar 20 x² + 7x – 6.

Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x² que es 20 y dejamos solamente indicado el producto de 20 por 7 x, nos queda;

Pero 400 x² = (20x)² y 20 (7x) = 7 (6x), podemos escribir el trinomio de la siguiente forma;

Ahora, factorizamos como aprendiste en el caso anterior, repasemos;

El trinomio se descompone en dos binomios, donde el primer término de ellos será la raíz cuadrada de (20 x)², o sea 20 x.

Cuando el segundo término del trinomio es positivo y tercer término negativo, los binomios tendrán signo destinos, donde el número de mayor valor absoluto será positivo.

Los segundos términos de los binomios serán dos números que sumados den 7 y multiplicados den - 120.